え！？

なんとなく、高校の時の最初の数学の授業を思い出しました。その時、数学の先生は以下のような問題を出しました。

問題

紙の上に半径がＲと２Ｒの同心円を描く。そこに適当な棒(つまりは直線)を投げる。そのとき、２Ｒの円内に重なる結果のうち、Ｒの円内に重なる確率はいくつか？

ちなみに、最初に私が出した答えは１/２でした。

解答例１

角度を固定しても一般性は失わない。中心から２Ｒ以上の場所はカウントしないので２Ｒの内部だけを考えればよい。線が移動できる長さは４Ｒ。で、Ｒの円内に入る場所の長さは２Ｒ。なので２Ｒ／４Ｒ＝１/２

解答時間たしか数秒でしたね。「なんでこんな簡単な問題を出すのだろう」と疑問に思っていたら、別の人から反撃がありました。

解答例２

必ず外の円と重なるのだから円周上の１点を固定しても一般性は失わない。外の円と接する状態から逆向きに接するまでの180°回転のうち、途中の60°だけ中の円と重なる。ので、60/180＝１/３

さて、どちらが正しいのか？もしくはどちらも間違っているのか？１時間の授業時間がものすごい議論になりました。結局、最後まで解決せず、先生もあえて答えを提出せずに授業は終了しました。今考えると、入学直後という非常に学問意識の熱が高い頃に非常によい授業をしてくれたなぁ・・と、数学教師の優秀さに感心しています。
ちなみにこれの解答ですが、今の私なら正解にたどり着けます。みなさんはわかりますか？