なんとなく積分計算 - trinoの走り書き

久々にやってみた。レベルは大学受験程度。

問題
$I_n = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} cos^n \theta d\theta$

ひょっとしたら定番の計算かもしれないけど久々にやったらちょいてこずった。方針は部分積分して漸化式に持ち込む。

$I_n = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos^n \theta d\theta$
$I_n = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos\theta cos^{(n-1)} \theta d\theta$
$I_n = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (sin\theta)' cos^{(n-1)} \theta d\theta$
$I_n = [ sin\theta cos^{(n-1)} \theta ]_{-\pi/2}^{\pi/2} - \int_{-\pi/2}^{\pi/2} -(n-1) sin^2\theta cos^{(n-2)} \theta d\theta$
$I_n = (n-1) \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1-cos^2\theta)cos^{(n-2)} \theta d\theta$
$I_n = (n-1) \int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos^{(n-2)}\theta d\theta - (n-1)\int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos^{n}\theta d\theta$
$I_n = (n-1) I_{n-2} - (n-1)I_n$
$n I_n = (n-1) I_{n-2}$
$I_n = \frac{(n-1)}{n} I_{n-2}$
というわけで一つ飛ばしの漸化式になります。というわけであとは初期値だけですね。
$I_0 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi$
$I_1 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos\theta d\theta = 2$
というわけで
$I_n= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\frac{n-5}{n-4} \dots \{ { \dots \frac{4}{5}\frac{2}{3} 2 \text{ if n odd}\atop\,\dots \frac{3}{4}\frac{1}{2} \pi \text{ if n even}}$
となります。

特にオチはなし。
後のトピックに使うかもしれないけど埋もれる可能盛大orz