多次元極座標 - trinoの走り書き

極座標とは、動径の長さ(原点からの距離)とその方向(角度？)で表す座標系のことです。厳密な定義は知らんけど多分遠くは無いはず。普通の正規直交座標の次によく使われるんじゃないかと思われる座標系です。
とりあえず、２次元の場合
$y = r sin \theta$
$x = r cos \theta$
ですね。3次元の場合は
$z = r cos \theta$
$y = r sin \theta sin \phi$
$x = r sin \theta cos \phi$
ですね。
極座標は一意に限定できないのですが(例えばｘとｙが逆でも問題ない)一般的には上記の形がよく用いられると思います。ただ、私が思うにｘとｙの表記は逆な方がいいんじゃないかなとよく思います。その理由を以下に書いて見ます。

まずはさらに高次元な座標系を極座標で表してみます。手始めに4次元の場合
$x_4 = r cos \theta_1$
$x_3 = r sin \theta_1 cos \theta_2$
$x_2 = r sin \theta_1 sin \theta_2 sin \theta_3$
$x_1 = r sin \theta_1 sin \theta_2 cos \theta_3$
となります。文献が見つからなかったので一般的な形じゃないかもしれませんがまあ間違いではないです（＾＾；
どうやって導いたかというと、まずは新しい次元(今回の場合第４次元)の軸との角度をΘ1として軸の射影成分をとって新しい次元の成分ができます。他方、新しい次元の軸と直行する部分空間にも射影させます。この部分空間は1次元だけ低いので、前の次元での極座標を適応させます。これで完成です。このように極座標は再帰的に生成できます。
この方法を利用して一般ｎ次元空間での極座標を表すと
$x_n = r cos \theta_1$
$x_{(n-1)} = r sin \theta_1 cos \theta_2$
$x_{(n-2)} = r sin \theta_1 sin \theta_2 cos \theta_3$
$x_{(n-3)} = r sin \theta_1 sin \theta_2 sin \theta_3 cos \theta_4$
・・・・・・・・・・・
$x_2 = r sin \theta_1 sin \theta_2 sin \theta_3 \dots sin \theta_{(n-2)} cos \theta_{(n-1)}$
$x_1 = r sin \theta_1 sin \theta_2 sin \theta_3 \dots sin \theta_{(n-2)} sin \theta_{(n-1)}$
となります。
ちなみにこの方式で３次元を表すと
$x_3 = r cos \theta_1$
$x_2 = r sin \theta_1 cos \theta_2$
$x_1 = r sin \theta_1 sin \theta_2$
となり、ｘ(x1)とｙ(x2)が逆になっている。こちらのほうが(数学的に)一般的な気がするんだけどどうしてなんでしょうね？

と思っていたらこの記事書いているうちに理由がちょい分かった気が（＾＾；
最後のΘ(n-1)はちょい特別で軸からの角度になっていない。例えば他の角度は定義域０〜πなのに対してこの角度だけ０〜２πになっている。なんでかというとｘ２の方は０〜πで十分だがｘ１は０〜πだと正か負かがわからない。つまり方向も含めてしまっているから０〜２πが必要なのである。
つまり、方向も含めた角度ということは先程の式は厳密には正しくない。このあたりまで厳密に書いてみると
$x_2 = r sin \theta_1 sin \theta_2 sin \theta_3 \dots sin \theta_{(n-2)} cos \theta_{(n-1)}$
$x_1 = r sin \theta_1 sin \theta_2 sin \theta_3 \dots sin \theta_{(n-2)} sin \theta_{(n-1)} cos \theta_n$
となる。ただし最後のΘnは０とπしか値を持たない。つまりは正か負かだけです。
しかしこれはこれでヘンテコで、自由度が一つ増えてしまっている。ので座標変換としては誤り。

とはいえ、ｘとｙとを逆にする理由というのは結局思い浮かばないわけで（＾＾；　多分、慣習なんでしょうね。