行列の平方根

数学

今日はじめて知ったorz

まず、(エルミート)行列は以下のように変形出来る。
A=\Sigma_{\lambda} \lambda |\lambda><\lambda|
λは固有値、ブラケットはその固有ベクトルである。証明は難しくて出来なかったが試しに固有ベクトルを作用させてみれば同じ結果になることは簡単に確認できるだろう。
で、ここでλを√λに変えてみよう。
\Sigma_{\lambda} \sqrt{\lambda} |\lambda><\lambda|
これを二乗するとどうなるか？
(\Sigma_{\lambda} \sqrt{\lambda} |\lambda><\lambda|)^2
=\Sigma_{\lambda_1,\lambda_2} \sqrt{\lambda_1\lambda_2} |\lambda_1><\lambda_1|\lambda_2><\lambda_2|
=\Sigma_{\lambda_1,\lambda_2} \sqrt{\lambda_1\lambda_2} |\lambda_1>\delta_{\lambda_1,\lambda_2}<\lambda_2|
=\Sigma_{\lambda_1} \lambda_1 |\lambda_1><\lambda_1|
=A
というわけで2乗したらＡに戻った。ということはこれは√Ａにあたる。

２乗に限らず、任意の累乗に関してどうやら成り立つっぽいです。証明は省略しますが簡単にできます。